Lois normales

Loi normale quelconque

Définition

Soit X une variable aléatoire continue.

X suit une loi normale, notée X ∼ N(μ;σ²) si sa fonction de densité est :

Paramètres

• Représentation graphique

La loi normale est représentée par une courbe en cloche, appelée aussi courbe de Gauss.

Celle courbe est entièrement définie par les 2 paramètres : μ détermine la position et σ la forme de la distribution normale.

Le point le plus élevé de la courbe correspond à la moyenne de la distribution mais également sa médiane et son mode puisqu'il s'agit d'une distribution sysmétrique (coefficient d'asymétrie G₁ = 0). En effet la courbe à gauche de la moyenne est l'image inversée de la courbe à droite de la moyenne.

La moyenne μ peut être négative, nulle ou positive.

L'écart type σ détermine la largeur et le degré d'aplatissement de la courbe . Plus σ est grand, plus la courbe est étalée et aplatie, traduisant une plus grande dispersion des données et inversément. Attention le coefficient d'aplatissement d'une courbe normale G₂ est toujours égal 0.

Loi normale centrée réduite

Soit une variable aléatoire centrée réduite, notée :

Z suit la loi normale centrée réduite ou loi normale standard, notée X ∼ N(0;1) et sa fonction de densité devient :

Paramètres

Utilisation

Les probabilités d'une variable aléatoire normale sont données par l'aire sous la courbe. L'aire totale est égale à 1 et puisque la distribution est symétrique, l'aire sous la courbe à gauche de la moyenne est égale à 0,5 comme celle situé à droite de la moyenne.

Puisque toutes les lois normales N(μ;σ²) se comportent comme la loi normale centrée réduite ou standard, une des propriétés sera de retrouver, pour des intervalles centrés autour de la moyenne μ ayant comme longueur le même multiple de σ , les mêmes probabilités :

• 68,26 % des valeurs d'une variable aléatoire normale sont comprise dans l'intervalle [μ - σ ; μ + σ]
• 95,44 % des valeurs d'une variable aléatoire normale sont comprise dans l'intervalle [μ - 2σ ; μ + 2σ]
• 99,74 % des valeurs d'une variable aléatoire normale sont comprise dans l'intervalle [μ - 3σ ; μ + 3σ]

Puisque la variable aléatoire normale est continue : P(X ≤ a) = P(X < a). En effet, la probabilité d'une valeur exacte d'une variable continue est nulle P(X = a) = 0.

Le calcul de probabilité P(X < a) d'une normale quelconque N(μ;σ2) se fait par la transformation préalable du score brut a en score z et ensuite par la recherche de la probabilité P(z < (a - μ)/σ) dans la table normale standard N(0;1).

Voici comment trouver P(z < 0,10), en rouge dans la table ci-dessus :

• Repérez z = 0,10 dans la 1ère colonne de la table
• Recherchez sa probabilité dans la colonne "Plus grande portion" puisque nous cherchons P(z < 0,10) ou l'aire à gauche de z
• P(z < 0,10) = 0,5398 = 53,98 %

Sachant que la probabilité d'avoir des valeurs supérieurs à z est égale à 33%, comment trouver z, en bleu dans la table ci-dessus :

• La probabilité de 33% = 0,33 est à rechercher dans la colonne "Plus petite portion" puisque nous cherchons P(z > ?) ou l'aire à droite de z
• Lisez le z correspondant dans la 1ère colonne de la table, soit z= 0,44
• P(z > 0,44) = 0,33

Propriétés

• Additivité de 2 lois normales

Si X1 et X2 sont 2 variables aléatoires indépendantes et normalement distribuées avec :

alors la variable X1 + X2 est elle aussi normalement distribuée avec

et

• Théorème de la limite centrale

Ce théorème explique pourquoi on retrouve fréquemment des variables aléatoires (phénomènes) qui suivent une loi normale.

Soient X1, X2, ..., Xn des variables indépendantes et identiquement distribuées (même fonction de densité, même espérance et même variance)

Si n est grand, la variable somme

est normalement distribuée, avec :

• Les variables peuvent être discrètes ou continues
• Dès que n ≥ 30, la loi de probabilité de la variable sera déjà près d'une normale
• Approximation d'une loi binomiale par une loi normale

Soit X une variable aléatoire discrète avec X ∼ B(n ; p)

Comment évaluer approximativement P(X = a) quand on sait que pour une loi continue P(X = a) = 0 ? En apportant une correction de continuité :

P (X_discrète = a) ≅ P (a - 0,5 ≤ X_continue ≤ a + 0,5)

Nous pourrons donner une valeur approchée X ∼ N(np ; npq) si les conditions suivantes sont vérifiées :

• n ≥ 30, np ≥ 5 et nq ≥ 5
• Plus n sera grand avec p près de 0,5 et plus cette approximation sera juste

• Approximation d'une loi de Poisson par une loi normale

Soit X une variable aléatoire discrète avec X ∼ Po(λ)

Nous pourrons donner une valeur approchée X ∼ N(λ ; λ) si les conditions suivantes sont vérifiées :

• λ grand

Utilisation de la table normale standard

En général nous aurons 4 types de calcul de probabilité :

• La probabilité que la variable aléatoire soit inférieure ou égale à une certaine valeur positive de z

P(Z < 1) est trouvée directement dans la table normale standard :

• Repérez z = 1 dans la 1ère colonne de la table
• Recherchez sa probabilité dans la colonne "Plus grande portion" puisque nous cherchons l'aire ou P(z < 1)
• P(z < 1) = 0,8413 = 84,13 %

• La probabilité que la variable aléatoire soit supérieure ou égale à une certaine valeur positive de z

P(Z ≥ 1,58) = aire en gris foncé

• Si votre table normale standard donne directement la probabilité de P(Z ≥ 1,58) comme c'est le cas ici, il suffit de la rechercher dans la colonne "Plus petite portion" : P(Z ≥ 1,58) = 0,0571
• Sinon il faut pour obtenir l'aire en gris foncé, enlever à l'aire totale (= 1) l'aire en gris clair, soit 1 - P(Z < 1,58) = 1 - 0,0571 = 0,9429 = 94,29 %
• La probabilité que la variable aléatoire soit inférieure ou égale à une certaine valeur négative de z

P(z < - 1) = aire en rouge est équivalent à P(z > 1) = aire en gris clair

• P(z < - 1) = P(z > 1) = 1 - P(z < 1) = 1 - 0,8413 = 0,1587 = 15,87 %
• La probabilité que la variable aléatoire soit comprise entre 2 valeurs données de z

P (-0,50 ≤ z ≤ 1,25) = P(z ≤ 1,25) - P(z ≤ - 0,50)

• Il faut d'abord trouver l'aire ou la probabilité P(z ≤ 1,25), ensuite l'aire P(z ≤ - 0,50) et enfin soustraire l'aire à gauche de z = - 0,50 à l'aire à gauche de z = 1,25 pour trouver l'aire
• P(z ≤ 1,25) = 0,8944
• P(z ≤ - 0,50) = 1 - P(z ≤ 0,50) = 1 - 0,6915 = 0,3085
• P (-0,50 ≤ z ≤ 1,25) = P(z ≤ 1,25) - P(z ≤ - 0,50) = 0,8944 - 0,3085 = 0,5859 = 58,59 %

• La recherche de la valeur de z pour une probabilité donnée

P(Z ≥ ?) = 0,10 = aire en gris foncé

• Si votre table normale standard donne directement la probabilité de P(Z ≥ ?) comme c'est le cas ici, il suffit de la rechercher dans la colonne "Plus petite portion" la probabilité 0,10 et trouver le z correspondant : z = 1,28
• Sinon il faut pour obtenir l'aire en gris foncé, enlever à l'aire totale (= 1) l'aire en gris clair, soit 1 - P(Z < ?) = 1 - 0,10 = 0,90 et rechercher dans la colonne "Plus grande portion" la probabilité 0,90 et trouver le z correspondant : z = 1,28

Approximation d'une loi binomiale par une loi normale

Les recherches en santé mentale montrent que le trouble de personnalité le plus fréquent est celui de la personnalité limite, atteignant en grande majorité des femmes (75%). Sur 50 dossiers de cas personnalité limite, quelle est la probabilité qu'il y ait au moins 40 dossiers de femmes ?

Soit la variable aléatoire discrète X ∼ B(50 ; 0,75), nous cherchons P(X ≥ 40).

Pouvons-nous faire une approximation à l'aide d'une loi normale ?

• n = 50 ≥ 30
• np = 50 . 0,75 = 37,5 ≥ 5
• nq = 50 . 0,25 = 13,5 ≥ 5

Les conditions sont respectées.

P(X ≥ 40) ≅ P_Normale(X ≥ 40 - 0,5) = P_Normale(X ≥ 39,5)

μ_x = E(X) = np = 50 . 0,75 = 37,5

σ_x² = Var(X) = npq = 50 . 0,75 . 0,25 = 9,375

P_Normale(z ≥ 0,653) = 1 - P(Z < 0,653) = 0,2568 = 25,68 %

Remarque : Dans la table normale standard 0,653 est compris entre

0,65 ... 0,2578
0,653 ... ?
0,66 ... 0,2546

Règle de 3

0,66 - 0,65 = 0,01 ... 0,2546 - 0,2578 = 0,0032
0,003 ... 0,00096

0,653 ... 0,2578 + 0,0096 = 0,2568

Approximation d'une loi de Poisson par une loi normale